Giải tích Ví dụ

$y = e^{\frac{x}{5}}$

Bước 1

Viết $y = e^{\frac{x}{5}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{\frac{x}{5}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{5}$ .

$e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{x}{5}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1$

Bước 2.2.4

Nhân $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ với $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{5}})$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{5}))$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{x}{5}))$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{5}))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $e^{\frac{x}{5}}$ và $\frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{5})$

Bước 3.3.2

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot (\frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Bước 3.3.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{5 \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Bước 3.3.3.2

Nhân $5$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{25} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{25} \cdot 1$

Bước 3.3.5

Nhân $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{25}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{x}{5}}}{25}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} = 0$

Bước 5

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 6

Không có cực trị địa phương

Bước 7