Giải tích Ví dụ

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Bước 1

Viết $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 e^{- x}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.3.8

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{- x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.2.8

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Bước 3.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $- 3 e^{- x} + e^{x}$ và $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 e^{- x}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.3.8

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Bước 5.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

Bước 5.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Bước 5.1.4.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Bước 5.1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Bước 6.2

Viết lại $e^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

Bước 6.3

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

Bước 6.4.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

Bước 6.5

Sắp xếp lại $\frac{3}{u}$ và $u$ .

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

Bước 6.6

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, u, 1, 1$

Bước 6.6.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 6.6.2

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ với $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Bước 6.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.2.1.1

Nhân $u$ với $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Bước 6.6.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Bước 6.6.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

Bước 6.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.3.1

Nhân $0$ với $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

Bước 6.6.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1

Phân tích $u^{2} + 3 - 4 u$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $3$ và tổng của chúng là $- 4$ .

$- 3, - 1$

Bước 6.6.3.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Bước 6.6.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 6.6.3.3

Đặt $u - 3$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.3.1

Đặt $u - 3$ bằng với $0$ .

$u - 3 = 0$

Bước 6.6.3.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 3$

Bước 6.6.3.4

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.4.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 6.6.3.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 6.6.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 3) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = 3, 1$

Bước 6.7

Thay $3$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Bước 6.8

Giải $3 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Bước 6.8.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Bước 6.8.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Bước 6.8.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Bước 6.8.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (3)$

Bước 6.9

Thay $1$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Bước 6.10

Giải $1 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Bước 6.10.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Bước 6.10.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Bước 6.10.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Bước 6.10.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (1)$

Bước 6.10.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.11

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (3), 0$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \ln (3), 0$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \ln (3)$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

Bước 10.1.2

Rút gọn $- (\ln (3))$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

Bước 10.1.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

Bước 10.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

Bước 10.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

Bước 10.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Bước 10.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$3 - 1$

Bước 10.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$2$

Bước 11

$x = \ln (3)$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \ln (3)$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $\ln (3)$ trong biểu thức.

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.2

Rút gọn $- (\ln (3))$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

Bước 12.2.1.6

Rút gọn $- 4 \ln (3)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

Bước 12.2.1.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

Bước 12.2.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

Bước 14.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

Bước 14.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

Bước 14.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$1 - 3$

Bước 14.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$- 2$

Bước 15

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Bước 16.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

Bước 16.2.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

Bước 16.2.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

Bước 16.2.1.5

Nhân $- 4$ với $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

Bước 16.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

Bước 16.2.2.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$f (0) = - 2$

Bước 16.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$y = - 2$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ là một cực tiểu địa phương

$(0, - 2)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 18