Giải tích Ví dụ

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Viết $y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 2.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 2.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Bước 2.8.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Bước 2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Bước 2.10

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 2.11

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2.12

Kết hợp $- 7$ và $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.13.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{7}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ đối với $x$ là $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Bước 3.2.2.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Bước 3.2.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Bước 3.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Bước 3.9

Kết hợp $x^{- \frac{5}{2}}$ và $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Bước 3.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{7}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Bước 3.10.2

Nhân $\frac{7}{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Bước 3.11

Nhân $\frac{7}{2}$ với $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{7 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Bước 3.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $3$ với $7$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.12.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Bước 3.12.3

Di chuyển $x^{- \frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 5

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 6

Không có cực trị địa phương

Bước 7