Giải tích Ví dụ

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Bước 1

Viết $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 13$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 13 \cos (h x)$ đối với $x$ là $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2.3

Vì $h$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $h x$ đối với $x$ là $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2.5

Nhân $h$ với $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.2.6

Nhân $- 1$ với $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 \sin (h x)$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Bước 2.3.3

Vì $h$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $h x$ đối với $x$ là $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $h$ với $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $13 h$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $13 h \sin (h x)$ đối với $x$ là $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.3

Vì $h$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $h x$ đối với $x$ là $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.5

Nhân $h$ với $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.6

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.7

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.2.9

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $12 h$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 h \cos (h x)$ đối với $x$ là $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Bước 3.3.3

Vì $h$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $h x$ đối với $x$ là $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Bước 3.3.5

Nhân $h$ với $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Bước 3.3.6

Nhân $- 1$ với $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Bước 3.3.7

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Bước 3.3.8

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Bước 3.3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Bước 3.3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Bước 6

Tách các phân số.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ sang $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Bước 8

Chia $13 h$ cho $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Bước 9

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (h x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Bước 9.2

Chia $12 h$ cho $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Bước 10

Tách các phân số.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Bước 11

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (h x)}$ sang $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Bước 12

Chia $0$ cho $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Bước 13

Nhân $0$ với $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Bước 14

Trừ $12 h$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Bước 15

Chia mỗi số hạng trong $13 h \tan (h x) = - 12 h$ cho $13 h$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Chia mỗi số hạng trong $13 h \tan (h x) = - 12 h$ cho $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Bước 15.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Bước 15.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Bước 15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Bước 15.2.2.2

Chia $\tan (h x)$ cho $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Bước 15.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Bước 15.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Bước 15.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Bước 16

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Bước 17

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Tính $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Bước 18

Chia mỗi số hạng trong $h x = - 0.74541947$ cho $h$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Chia mỗi số hạng trong $h x = - 0.74541947$ cho $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Bước 18.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Bước 18.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Bước 18.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Bước 19

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Bước 20

Cộng $2 π$ vào $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 21

Góc tìm được $2.39617317$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

Bước 22

Chia mỗi số hạng trong $h x = 2.39617317$ cho $h$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Chia mỗi số hạng trong $h x = 2.39617317$ cho $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Bước 22.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Bước 22.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Bước 24

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Bước 24.1.2

Viết lại biểu thức.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Bước 24.2

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Bước 24.2.2

Viết lại biểu thức.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Bước 25

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 26