Giải tích Ví dụ

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Bước 1

Viết $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ và $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Bước 2.3.2

Nhân $700 - \frac{4 x}{3}$ với $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $700 - \frac{4 x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Bước 2.3.4

Vì $700$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $700$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Bước 2.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Bước 2.3.6

Vì $- \frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $x$ và $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.7.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Bước 2.3.9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Bước 2.3.9.2

Trừ $\frac{4 x}{3}$ khỏi $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Bước 2.3.9.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Bước 2.3.9.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.4.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Bước 2.3.9.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Bước 2.4.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Bước 2.4.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Bước 2.4.2.4

Nhân $8$ với $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Bước 2.4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{16 x}{3} + 1400$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- \frac{16}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{16 x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $1400$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1400$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $- \frac{16}{3}$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Bước 5.1.2

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Bước 5.1.3.2

Nhân $700 - \frac{4 x}{3}$ với $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Bước 5.1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $700 - \frac{4 x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Bước 5.1.3.4

Vì $700$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $700$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Bước 5.1.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Bước 5.1.3.6

Vì $- \frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 5.1.3.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.7.1

Kết hợp $x$ và $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.1.3.7.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.1.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Bước 5.1.3.9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Bước 5.1.3.9.2

Trừ $\frac{4 x}{3}$ khỏi $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Bước 5.1.3.9.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Bước 5.1.3.9.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.9.4.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Bước 5.1.3.9.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Bước 5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Bước 5.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1

Nhân $2$ với $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Bước 5.1.4.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Bước 5.1.4.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Bước 5.1.4.2.4

Nhân $8$ với $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Bước 5.1.4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Bước 5.1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Bước 6.2

Trừ $1400$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Rút gọn $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{16}$ vào tử số.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.1.2

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{16 x}{3}$ vào tử số.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.1.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.1.1.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{16}$ vào tử số.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Bước 6.4.2.1.1.2

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Bước 6.4.2.1.1.3

Đưa $8$ ra ngoài $- 1400$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Bước 6.4.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Bước 6.4.2.1.1.5

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Bước 6.4.2.1.2

Kết hợp $\frac{- 3}{2}$ và $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Bước 6.4.2.1.3

Nhân $- 3$ với $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{525}{2}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{525}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{16}{3}$

Bước 10

$x = \frac{525}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{525}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{525}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{525}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Bước 11.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.1.3

Nhân $4$ với $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2100$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.1.2.4

Chia $1050$ cho $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1050$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $1050$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Bước 11.2.2.2.2.4

Chia $350$ cho $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Bước 11.2.2.3

Nhân $- 1$ với $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Bước 11.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Trừ $350$ khỏi $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Bước 11.2.3.2

Nhân $350$ với $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Bước 11.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $183750$ .

$y = 183750$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13