Giải tích Ví dụ

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

Bước 1

Viết $y = x e^{\frac{1}{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $- 2$ và $1$ .

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6.3

Viết lại $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Bước 2.8

Nhân $e^{\frac{1}{x}}$ với $1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 2.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 2.9.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ và $g (x) = x$ .

$f'' (x) = - \frac{x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.4

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.10

Cộng $- 2$ và $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.11

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.12

Viết lại $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.14

Nhân $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ với $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.2.15

Cộng $- \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Bước 3.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.2

Kết hợp $e^{\frac{1}{x}}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{- (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.2

Nhân $- - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1 (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.2.2

Nhân $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.3

Nhân $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.3.2

Nhân $e^{\frac{1}{x}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.4

Trừ $e^{\frac{1}{x}}$ khỏi $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 0}{x^{2}}$

Bước 3.4.4.5

Cộng $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}{x^{2}}$

Bước 3.4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.4.6

Kết hợp.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Bước 3.4.7

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Bước 3.4.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

Bước 3.4.7.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{3}}$

Bước 3.4.8

Nhân $e^{\frac{1}{x}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Cộng $- 2$ và $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.6.3

Viết lại $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 5.1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Bước 5.1.8

Nhân $e^{\frac{1}{x}}$ với $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 5.1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 5.1.9.2

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Bước 6.2

Đưa $e^{\frac{1}{x}}$ ra ngoài $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $e^{\frac{1}{x}}$ ra ngoài $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Bước 6.2.2

Nhân với $1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1 = 0$

Bước 6.2.3

Đưa $e^{\frac{1}{x}}$ ra ngoài $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$

Bước 6.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Bước 6.4

Đặt $e^{\frac{1}{x}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $e^{\frac{1}{x}}$ bằng với $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

Bước 6.4.2

Giải $e^{\frac{1}{x}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{\frac{1}{x}}) = \ln (0)$

Bước 6.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 6.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{\frac{1}{x}} = 0$

Không có đáp án

Bước 6.5

Đặt $- \frac{1}{x} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đặt $- \frac{1}{x} + 1$ bằng với $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Bước 6.5.2

Giải $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Bước 6.5.2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, 1$

Bước 6.5.2.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 6.5.2.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{x} = - 1$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{x} = - 1$ với $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Bước 6.5.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Bước 6.5.2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Bước 6.5.2.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = - x$

Bước 6.5.2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- x = - 1$ .

$- x = - 1$

Bước 6.5.2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.5.2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.4.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.5.2.4.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.5.2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.4.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 6.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Bước 10.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{e}{1^{3}}$

Bước 10.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{e}{1}$

Bước 10.4

Chia $e$ cho $1$ .

$e$

Bước 11

$x = 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = (1) \cdot e^{\frac{1}{1}}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $e^{\frac{1}{1}}$ với $1$ .

$f (1) = e^{\frac{1}{1}}$

Bước 12.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$f (1) = e$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $e$ .

$y = e$

Bước 13

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$ .

$(1, e)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 14