Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 8]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

Bước 5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ tại $8$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.5

Nhân $3$ với $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $48$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.6.2.4

Chia $12$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.7

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Bước 8.2.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Bước 8.2.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Bước 8.2.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

Bước 8.2.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

Bước 8.2.2.11

Nhân $3$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

Bước 8.2.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.12.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

Bước 8.2.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.12.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Bước 8.2.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Bước 8.2.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

Bước 8.2.2.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

Bước 8.2.2.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

Bước 8.2.2.14

Cộng $12$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

Bước 8.2.2.15

Nhân $5$ với $12$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

Bước 9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

Bước 9.2

Cộng $8$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

Bước 10.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $60$ .

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Bước 10.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Bước 10.1.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $15$ .

$A (x) = \frac{15}{2}$

Bước 11