Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[- 1, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Bước 1.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\sqrt[3]{x}$

Bước 1.2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.2

Nhân $\frac{3}{4}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.3

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Bước 6.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Bước 6.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Bước 6.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Bước 6.2.6

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Bước 6.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 6.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Bước 6.2.9

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Bước 6.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Bước 6.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Bước 6.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Bước 6.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Bước 6.2.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 8

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$A (x) = 0$

Bước 9