Giải tích Ví dụ

$p (x) = \frac{- 1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.2.6.2.4

Chia $- x^{2}$ cho $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{3} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3.6

Kết hợp $\frac{- 4}{3}$ và $x$ .

$- x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 15 x$ đối với $x$ là $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.4.3

Nhân $- 15$ với $1$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ và $0$ .

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$p'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$p'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{d}{d x} (- 15)$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 15$ đối với $x$ là $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- 2 x - \frac{4}{3}$ và $0$ .

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6