Giải tích Ví dụ

$a' (t) = (\frac{15}{2}) \sqrt{t} + 3 e^{- t}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $a (t)$ bằng cách tìm giá trị của tích phân bất định của đạo hàm $a' (t)$ .

$a (t) = \int a' (t) d t$

Bước 2

Kết hợp $\frac{15}{2}$ và $\sqrt{t}$ .

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} + 3 e^{- t} d t$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Bước 4

Vì $\frac{15}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{15}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{15}{2} \int \sqrt{t} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 e^{- t} d t$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int e^{- t} d t$

Bước 8

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 8.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int - e^{u} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 (- \int e^{u} d u)$

Bước 10

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $\frac{15}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.2

Nhân $15$ với $2$ .

$\frac{30}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{30}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $30$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6 (1)} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 12.2.4.2.4

Chia $5$ cho $1$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$

Bước 14

Hàm số $a$ nếu được tính từ tích phân của đạo hàm của hàm số. Điều này thỏa định lý cơ bản của giải tích.

$a (t) = 5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$