Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $64$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = - 64$

Cộng $64$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} + 64 = 0$

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $4$ với $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Đặt $x^{2} - 4 x + 16$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x^{2} - 4 x + 16$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Giải $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = 16$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Trừ $64$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (48)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Rút gọn $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Trừ $64$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (48)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Rút gọn $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Trừ $64$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1 (48)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Rút gọn $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ đúng.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6