Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{2 x}$ và $g (x) = \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x^{2} - 3)] + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cos (2 x^{2} - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (2 x^{2} - 3)$ .

$e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{2 x} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (2 x^{2} - 3)$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x^{2} - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{2} - 3$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{2} - 3$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (- \sin (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (\sin (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.5

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x + 0)) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $4 x$ và $0$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x)) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.7.2

Nhân $4$ với $- 3$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} \cdot 2)$

Bước 6.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (2 \cdot e^{2 x})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 12 e^{2 x} x \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$

Bước 7.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 12 e^{2 x} x \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$ .

$- 12 x e^{2 x} \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$