Giải tích Ví dụ

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $p (x)$ có liên tục trên $[0, 10]$ không, hãy tìm tập xác định của $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $- x^{2}$ và $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Bước 1.2.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Bước 1.2.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.4

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 72$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Nâng $72$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.1.2.2

Nhân $- 8$ với $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.1.3

Trừ $8$ khỏi $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.1.4

Viết lại $5176$ ở dạng $2^{2} \cdot 1294$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Bước 1.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.1

Nâng $72$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.1.2.2

Nhân $- 8$ với $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.1.3

Trừ $8$ khỏi $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.1.4

Viết lại $5176$ ở dạng $2^{2} \cdot 1294$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.6.5

Viết lại $- 36$ ở dạng $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Bước 1.2.6.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Bước 1.2.6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.1

Nâng $72$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.1.2.2

Nhân $- 8$ với $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.1.3

Trừ $8$ khỏi $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.1.4

Viết lại $5176$ ở dạng $2^{2} \cdot 1294$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Bước 1.2.7.3

Rút gọn $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.7.5

Viết lại $- 36$ ở dạng $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Bước 1.2.7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Bước 1.2.7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.8

Hợp nhất các đáp án.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.2.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 38$

Bước 1.2.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 38$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Bước 1.2.10.1.3

Vế trái $153$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.2.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 1.2.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Bước 1.2.10.2.3

Vế trái $- 197$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.2.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.2.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Bước 1.2.10.3.3

Vế trái $1$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.2.10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Đúng

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Sai

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Đúng

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Đúng

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Sai

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Đúng

Bước 1.2.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ hoặc $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Bước 2

$p (x)$ liên tục trên $[0, 10]$ .

$p (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $p$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Bước 5.2

Cộng $10$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $- x^{2}$ và $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Bước 7