Giải tích Ví dụ

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $g (x)$ có liên tục trên $[0, 2]$ không, hãy tìm tập xác định của $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{1 + x^{3}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$1 + x^{3} \geq 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{3} \geq - 1$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Bước 1.2.3

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{3} + 1 = 0$

Bước 1.2.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Bước 1.2.4.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Bước 1.2.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 1.2.6

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 1.2.6.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 1.2.7

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 1.2.7.2

Giải $x^{2} - x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.7.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.7.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.7.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.7.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.7.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ đúng.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \geq - 1$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq - 1}$

Ký hiệu khoảng:

$[- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq - 1}$

Bước 2

$g (x)$ liên tục trên $[0, 2]$ .

$g (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $g$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Bước 5

Giả sử $u = 1 + x^{3}$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 5.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 5.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Bước 5.5.2

Cộng $1$ và $8$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Bước 6

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.6

Nhân $2$ với $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.7.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Bước 10.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Bước 10.2.10

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Bước 10.2.11

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Bước 10.2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Bước 10.2.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.13.1

Nhân $18$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Bước 10.2.13.2

Trừ $2$ khỏi $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Bước 10.2.14

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Bước 10.2.15

Nhân $3$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Bước 11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Bước 11.2

Cộng $2$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $52$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Bước 13