Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 x^{2} + 7$ , $[- 1, 4]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[- 1, 4]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} + 7 d x)$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Bước 6

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Bước 10.2

Tính $7 x$ tại $4$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.5

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64 + 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.7

Cộng $64$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{65}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.8

Kết hợp $7$ và $\frac{65}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{7 \cdot 65}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.9

Nhân $7$ với $65$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.10

Nhân $7$ với $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 - 7 \cdot - 1)$

Bước 10.3.11

Nhân $- 7$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 + 7)$

Bước 10.3.12

Cộng $28$ và $7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35)$

Bước 10.3.13

Để viết $35$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 10.3.14

Kết hợp $35$ và $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + \frac{35 \cdot 3}{3})$

Bước 10.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 35 \cdot 3}{3})$

Bước 10.3.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.16.1

Nhân $35$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 105}{3})$

Bước 10.3.16.2

Cộng $455$ và $105$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{560}{3})$

Bước 11

Cộng $4$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{560}{3}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $5$ ra ngoài $560$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (112)}{3}$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 112}{3}$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{112}{3}$

Bước 13