Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[0, 2 π]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = 5 \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt đối số trong $\csc (x)$ bằng $π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq π n}$ , cho mọi số nguyên $n$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq π n}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Bước 5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Bước 6

Tích phân của $\csc (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Bước 7.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Viết lại $\csc (2 π)$ theo sin và cosin.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.2.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.2.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Viết lại $\csc (0)$ theo sin và cosin.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Bước 7.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Bước 7.3.5

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Bước 7.3.6

Nhân $5$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Bước 8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Bước 8.2

Cộng $2 π$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Bước 9

Nhân $\frac{1}{2 π}$ với $0$ .

$A (x) = 0$

Bước 10