Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x)$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 d x + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}))$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $4 x$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((4 \cdot 2) - 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (8 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.2

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (8 + 8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3

Cộng $8$ và $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.5

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Bước 9.2.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Bước 9.2.3.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Bước 9.2.3.8

Nhân $\frac{8}{3}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Bước 9.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - \frac{8 + 8}{3})$

Bước 9.2.3.10

Cộng $8$ và $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 - \frac{16}{3})$

Bước 9.2.3.11

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 9.2.3.12

Kết hợp $16$ và $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 9.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{16 \cdot 3 - 16}{3})$

Bước 9.2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.14.1

Nhân $16$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{48 - 16}{3})$

Bước 9.2.3.14.2

Trừ $16$ khỏi $48$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{32}{3})$

Bước 10

Cộng $2$ và $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{3}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $4$ ra ngoài $32$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (8)}{3}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 8}{3}$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{8}{3}$

Bước 12