Giải tích Ví dụ

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 5]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Bước 7

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Bước 8

Giả sử $u = - 0.04 x$ . Sau đó $d u = - 0.04 d x$ , nên $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - 0.04 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 0.04$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 0.04 x$ đối với $x$ là $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 0.04$ với $1$ .

$- 0.04$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Bước 8.3

Nhân $- 0.04$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Bước 8.5

Nhân $- 0.04$ với $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Bước 9.2

Kết hợp ${2.71828182}^{u}$ và $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Bước 11

Nhân $- 1$ với $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{0.04}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.04}$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{0.04}$ và $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Bước 13.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Bước 14

Tích phân của ${2.71828182}^{u}$ đối với $u$ là $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ và $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Bước 15.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Bước 16

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $29 x$ tại $5$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Bước 16.2

Tính $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ tại $- 0.2$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $29$ với $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.2

Nhân $- 29$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.3

Cộng $145$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.5

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.6

Viết lại $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ ở dạng một tích.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.7

Nhân $\frac{1}{1.22140275}$ với $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.8

Nhân $1.22140275$ với $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 16.3.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.1

Chia $1$ cho $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.2

Để viết $0.81873075$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.4.1

Nhân $0.81873075$ với $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.4.2

Trừ $1$ khỏi $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.6

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Bước 17.1.1.7

Logarit cơ số $2.71828182$ của $2.71828182$ xấp xỉ bằng $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Bước 17.1.1.8

Chia $0.18126924$ cho $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Bước 17.1.1.9

Nhân $- 1$ với $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Bước 17.1.2

Nhân $8$ với $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Bước 17.1.3

Chia $- 1.45015397$ cho $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Bước 17.1.4

Nhân $- 1$ với $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Bước 17.2

Cộng $145$ và $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Bước 18

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Bước 18.2

Cộng $5$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Bước 19

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Bước 19.2

Chia $181.25384939$ cho $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Bước 20