Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{2}$ , $(- 1, 1)$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{2} d x)$

Bước 5

Khai triển ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} (9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1) d x)$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2} + 1) + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.6

Di chuyển $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.7

Nhân $9$ với $9$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2} x^{2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2 + 2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.9

Cộng $2$ và $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.10

Nhân $9$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.11

Nhân $9$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 \cdot 1 d x)$

Bước 5.12

Nhân $1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 d x)$

Bước 5.13

Cộng $9 x^{2}$ và $9 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 18 x^{2} + 1 d x)$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 7

Vì $81$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $81$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 10

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $18$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\frac{x^{5}}{5}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Bước 14.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Bước 14.3

Tính $x$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.5

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1 + 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.7

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{2}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.8

Kết hợp $81$ và $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{81 \cdot 2}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.9

Nhân $81$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Bước 14.4.14

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1 + 1}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.16

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{2}{3}) + 1 + 1)$

Bước 14.4.17

Kết hợp $18$ và $\frac{2}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{18 \cdot 2}{3} + 1 + 1)$

Bước 14.4.18

Nhân $18$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{36}{3} + 1 + 1)$

Bước 14.4.19

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.19.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3} + 1 + 1)$

Bước 14.4.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.19.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 (1)} + 1 + 1)$

Bước 14.4.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 1} + 1 + 1)$

Bước 14.4.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12}{1} + 1 + 1)$

Bước 14.4.19.2.4

Chia $12$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 + 1 + 1)$

Bước 14.4.20

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 \cdot \frac{5}{5} + 1 + 1)$

Bước 14.4.21

Kết hợp $12$ và $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Bước 14.4.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Bước 14.4.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.23.1

Nhân $12$ với $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 60}{5} + 1 + 1)$

Bước 14.4.23.2

Cộng $162$ và $60$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 1 + 1)$

Bước 14.4.24

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2)$

Bước 14.4.25

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})$

Bước 14.4.26

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})$

Bước 14.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 2 \cdot 5}{5})$

Bước 14.4.28

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.28.1

Nhân $2$ với $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 10}{5})$

Bước 14.4.28.2

Cộng $222$ và $10$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{232}{5})$

Bước 15

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{232}{5}$

Bước 16

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đưa $2$ ra ngoài $232$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (116)}{5}$

Bước 16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 116}{5}$

Bước 16.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{116}{5}$

Bước 17