Giải tích Ví dụ

$f (x) = 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5$ , $[0, 5]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 5]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5 d x)$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 6

Vì $0.1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $0.1$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 9

Vì $1.5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $1.5$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $5$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

Bước 13.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $5$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

Bước 13.3

Tính $5.5 x$ tại $5$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} + 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.5

Cộng $\frac{125}{3}$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.6

Kết hợp $0.1$ và $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{0.1 \cdot 125}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.7

Nhân $0.1$ với $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.8

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} + 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.12

Cộng $\frac{25}{2}$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.13

Kết hợp $1.5$ và $\frac{25}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{1.5 \cdot 25}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.14

Nhân $1.5$ với $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.15

Để viết $\frac{12.5}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.16

Để viết $\frac{37.5}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.17

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.17.1

Nhân $\frac{12.5}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.17.2

Nhân $3$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.17.3

Nhân $\frac{37.5}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.17.4

Nhân $2$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.19

Nhân $12.5$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.20

Nhân $37.5$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 112.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.21

Cộng $25$ và $112.5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.22

Nhân $5.5$ với $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 - 5.5 \cdot 0)$

Bước 13.4.23

Nhân $- 5.5$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 + 0)$

Bước 13.4.24

Cộng $27.5$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5)$

Bước 13.4.25

Để viết $27.5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 \cdot \frac{6}{6})$

Bước 13.4.26

Kết hợp $27.5$ và $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + \frac{27.5 \cdot 6}{6})$

Bước 13.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 27.5 \cdot 6}{6})$

Bước 13.4.28

Nhân $27.5$ với $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 165}{6})$

Bước 13.4.29

Cộng $137.5$ và $165$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{302.5}{6})$

Bước 14

Chia $302.5$ cho $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (50.41\overline{6})$

Bước 15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 50.41\overline{6}$

Bước 15.2

Cộng $5$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 50.41\overline{6}$

Bước 16

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $50.41\overline{6}$ .

$A (x) = \frac{50.41\overline{6}}{5}$

Bước 16.2

Chia $50.41\overline{6}$ cho $5$ .

$A (x) = 10.08\overline{3}$

Bước 17