Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[2, 4]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 1.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 1.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 1.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[2, 4]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

Bước 7

Nhân $(x + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Bước 8.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Bước 8.1.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

Bước 8.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Bước 10

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\ln (| x |)]_{2}^{4}$ và $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Bước 12.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $\ln (| x |) - x^{- 1}$ tại $4$ và tại $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Bước 12.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Bước 12.2.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

Bước 12.2.2.3

Để viết $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

Bước 12.2.2.4

Kết hợp $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ và $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Bước 12.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Bước 12.2.2.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.2

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.3

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Bước 13.1.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

Bước 13.1.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

Bước 13.1.4.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

Bước 13.1.4.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Bước 13.2

Để viết $2 \ln (2)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Bước 13.3

Kết hợp $2 \ln (2)$ và $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Bước 13.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Bước 13.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Bước 13.5.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

Bước 13.6

Nhân $4$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

Bước 13.7

Trừ $4 \ln (2)$ khỏi $8 \ln (2)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

Bước 14

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn $4 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

Bước 15.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

Bước 16

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 17

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (16)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 18

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Bước 19

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Bước 19.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Bước 19.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Bước 19.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Bước 19.4

Tính số mũ.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Bước 20