Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[0, 9]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{10}{x + 1}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 1 = 0$

Bước 1.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 1}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 1}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 9]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Bước 5

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 6

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 6.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Bước 6.5

Cộng $9$ và $1$ .

$u_{upper} = 10$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Bước 8

Tính $\ln (| u |)$ tại $10$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Bước 9

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $10$ là $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Bước 10.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Bước 10.3

Chia $10$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Bước 11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Bước 11.2

Cộng $9$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Bước 12

Rút gọn $10 \ln (10)$ bằng cách di chuyển $10$ trong logarit.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Bước 13

Nâng $10$ lên lũy thừa $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Bước 14

Rút gọn $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{9}$ trong logarit.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Bước 15