Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[2, 4]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x - 1}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 1 = 0$

Bước 1.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 1}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 1}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[2, 4]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

Bước 5

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 5.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Bước 5.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Bước 5.5

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Bước 7

Tính $\ln (| u |)$ tại $3$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 8

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

Bước 9.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

Bước 9.3

Chia $3$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

Bước 10

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

Bước 11

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (3)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

Bước 12