Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[0, 3]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{1 + x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$1 + x \geq 0$

Bước 1.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 1$

Bước 1.3

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Bước 1.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x}$ ở dạng ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.2

Rút gọn.

$1 + x = 0^{2}$

Bước 1.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 + x = 0$

Bước 1.4.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 1.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > - 1}$

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > - 1}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 3]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Bước 5

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 5.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Bước 5.5

Cộng $1$ và $3$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Bước 6.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Bước 6.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Bước 6.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.4

Tính số mũ.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.5

Nhân $2$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 8.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Bước 8.2.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Bước 8.2.8

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Bước 9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Bước 9.2

Cộng $3$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Bước 11