Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[0, 5]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt $x - 6$ bằng $0$ .

$x - 6 = 0$

Bước 1.2.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 6}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 6}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 5]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Bước 5

Giả sử $u = x - 6$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = x - 6$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 5.1.4

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Bước 5.3

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Bước 5.5

Trừ $6$ khỏi $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $- 1$ và tại $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Bước 8.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Bước 8.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Bước 8.2.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Bước 8.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Bước 8.2.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Bước 8.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Bước 8.2.9

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Bước 9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Bước 9.2

Cộng $5$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Bước 10

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Bước 10.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Bước 11