Giải tích Ví dụ

$\int \frac{5}{e^{5 x}} - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{5}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Làm âm số mũ của $e^{5 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$5 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$5 \int 1 e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $e^{- 5 x}$ với $1$ .

$5 \int e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - 5 x$ . Sau đó $d u = - 5 d x$ , nên $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 5$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 5.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 5$ .

$\frac{- 5}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 9.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- (e^{u} + C) - \int \frac{2}{5 x} d x$

Bước 12

Vì $\frac{2}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- (e^{u} + C) - (\frac{2}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 13

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- (e^{u} + C) - \frac{2}{5} (\ln (| x |) + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$- e^{u} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 5 x$ .

$- e^{- 5 x} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$