Giải tích Ví dụ

$\int x - 2 e^{- x} - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int e^{- x} d x + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = - x$ . Sau đó $d u_{1} = - d x$ , nên $- d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = - x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 x} d x$

Bước 8

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 9.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 10.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + 1 (\frac{1}{2}) \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 12.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 14.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 15

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 16

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 e^{- x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$