Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 20 x$ đối với $x$ là $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 20$ với $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 1.3

Vì $110$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $110$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $1014$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1014}{x}$ đối với $x$ là $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.4.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Bước 1.4.4

Nhân $- 1$ với $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Cộng $2 x - 20$ và $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.5.2.2

Kết hợp $- 1014$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Bước 1.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1014$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1014}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.3.10

Nhân $- 2$ với $- 1014$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Bước 2.4

Vì $- 20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 20$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Bước 2.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Kết hợp $2028$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}} + 0$

Bước 2.5.2.2

Cộng $2 + \frac{2028}{x^{3}}$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}}$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{2028}{x^{3}} + 2$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 4.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $- 20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 20 x$ đối với $x$ là $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- 20$ với $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 4.1.3

Vì $110$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $110$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $1014$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1014}{x}$ đối với $x$ là $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 4.1.4.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 4.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Bước 4.1.4.4

Nhân $- 1$ với $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Bước 4.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 4.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Cộng $2 x - 20$ và $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 4.1.5.2.2

Kết hợp $- 1014$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Bước 4.1.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Bước 4.1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Bước 5.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{2}, 1, 1$

Bước 5.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2}$

Bước 5.3

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ với $x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ với $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2.1.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2.1.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1014}{x^{2}}$ vào tử số.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Bước 5.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Bước 5.4.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 1014$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 - 20 x^{2} = 0$

Bước 5.4.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 20 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Bước 5.4.1.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3} + 2 \cdot - 507$ .

$2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Bước 5.4.1.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 507 - 10 x^{2}) = 0$

Bước 5.4.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (x^{3} - 10 x^{2} - 507) = 0$

Bước 5.4.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1

Phân tích $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

$q = \pm 1$

Bước 5.4.1.3.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

Bước 5.4.1.3.1.3

Thay $13$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $13$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1.3.1

Thay $13$ vào đa thức.

$13^{3} - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Bước 5.4.1.3.1.3.2

Nâng $13$ lên lũy thừa $3$ .

$2197 - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Bước 5.4.1.3.1.3.3

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$2197 - 10 \cdot 169 - 507$

Bước 5.4.1.3.1.3.4

Nhân $- 10$ với $169$ .

$2197 - 1690 - 507$

Bước 5.4.1.3.1.3.5

Trừ $1690$ khỏi $2197$ .

$507 - 507$

Bước 5.4.1.3.1.3.6

Trừ $507$ khỏi $507$ .

$0$

Bước 5.4.1.3.1.4

Vì $13$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 13$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} - 507}{x - 13}$

Bước 5.4.1.3.1.5

Chia $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ cho $x - 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$13$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$0 x$

$507$

Bước 5.4.1.3.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$

Bước 5.4.1.3.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			+	$x^{3}$	-	$13 x^{2}$

Bước 5.4.1.3.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - 13 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$

Bước 5.4.1.3.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Bước 5.4.1.3.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 5.4.1.3.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $3 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 5.4.1.3.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$39 x$

Bước 5.4.1.3.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $3 x^{2} - 39 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$

Bước 5.4.1.3.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$

Bước 5.4.1.3.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Bước 5.4.1.3.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $39 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Bước 5.4.1.3.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							+	$39 x$	-	$507$

Bước 5.4.1.3.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $39 x - 507$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$

Bước 5.4.1.3.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$
										$0$

Bước 5.4.1.3.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + 3 x + 39$

Bước 5.4.1.3.1.6

Viết $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$2 ((x - 13) (x^{2} + 3 x + 39)) = 0$

Bước 5.4.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$

Bước 5.4.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 13 = 0$

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Bước 5.4.3

Đặt $x - 13$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Đặt $x - 13$ bằng với $0$ .

$x - 13 = 0$

Bước 5.4.3.2

Cộng $13$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 13$

Bước 5.4.4

Đặt $x^{2} + 3 x + 39$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Đặt $x^{2} + 3 x + 39$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Bước 5.4.4.2

Giải $x^{2} + 3 x + 39 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.4.4.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 3$ , và $c = 39$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.3

Trừ $156$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.4

Viết lại $- 147$ ở dạng $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (147)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.7

Viết lại $147$ ở dạng $7^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.3.1.7.1

Đưa $49$ ra ngoài $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.7.2

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.1.9

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.4.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.3

Trừ $156$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.4

Viết lại $- 147$ ở dạng $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (147)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.7

Viết lại $147$ ở dạng $7^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.4.1.7.1

Đưa $49$ ra ngoài $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.7.2

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.1.9

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.4.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 5.4.4.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 5.4.4.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.5.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.3

Trừ $156$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.4

Viết lại $- 147$ ở dạng $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (147)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.7

Viết lại $147$ ở dạng $7^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.5.1.7.1

Đưa $49$ ra ngoài $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.7.2

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.1.9

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.5.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 5.4.4.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

Bước 5.4.4.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.4.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$ đúng.

$x = 13, - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1014}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 6.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 6.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 13$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 13$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{2028}{{(13)}^{3}} + 2$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $13$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2028}{2197} + 2$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2028$ và $2197$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $169$ ra ngoài $2028$ .

$\frac{169 (12)}{2197} + 2$

Bước 9.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Đưa $169$ ra ngoài $2197$ .

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Bước 9.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Bước 9.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12}{13} + 2$

Bước 9.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + 2 \cdot \frac{13}{13}$

Bước 9.3

Kết hợp $2$ và $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + \frac{2 \cdot 13}{13}$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{12 + 2 \cdot 13}{13}$

Bước 9.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $2$ với $13$ .

$\frac{12 + 26}{13}$

Bước 9.5.2

Cộng $12$ và $26$ .

$\frac{38}{13}$

Bước 10

$x = 13$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 13$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $13$ trong biểu thức.

$f (13) = {(13)}^{2} - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$f (13) = 169 - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Bước 11.2.1.2

Nhân $- 20$ với $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + \frac{1014}{13}$

Bước 11.2.1.3

Chia $1014$ cho $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + 78$

Bước 11.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Trừ $260$ khỏi $169$ .

$f (13) = - 91 + 110 + 78$

Bước 11.2.2.2

Cộng $- 91$ và $110$ .

$f (13) = 19 + 78$

Bước 11.2.2.3

Cộng $19$ và $78$ .

$f (13) = 97$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $97$ .

$y = 97$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ .

$(13, 97)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13