Giải tích Ví dụ

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân ${(x - 5)}^{5}$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.6

Cộng $1$ và $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.2.7

Nhân $5$ với $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

Bước 1.3.2

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

Bước 1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

Bước 1.3.4

Cộng $1$ và $4$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

Bước 1.3.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 {(x - 1)}^{5}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

Bước 1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 1.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 1.3.9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

Bước 1.3.10

Cộng $1$ và $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

Bước 1.3.11

Nhân $5$ với $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Bước 1.3.12

Nhân $5$ với $5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

Bước 1.4

Đưa $5$ ra ngoài $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 {(x - 5)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

Bước 1.4.2

Đưa $5$ ra ngoài $25 {(x - 1)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Bước 1.4.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ .

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.3.3

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.3.4.2

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.3.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 {(x - 1)}^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $4$ với $5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Bước 2.5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Bước 2.5.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

Bước 2.5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Bước 2.5.5.2

Nhân $20$ với $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Bước 2.6.2

Nhân $4$ với $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Bước 2.6.3

Nhân $20$ với $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

Bước 2.6.4

Đưa $20$ ra ngoài $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Đưa $20$ ra ngoài $20 {(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

Bước 2.6.4.2

Đưa $20$ ra ngoài $100 {(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

Bước 2.6.4.3

Đưa $20$ ra ngoài $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6