Giải tích Ví dụ

$f (x) = x e^{x + y}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4.2

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Bước 1.3.6

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x + y} + e^{x + y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x + y}) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x + y}) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + y$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + y$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.5

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.7

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.8

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.2.9

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x + y)$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x + y)$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))$

Bước 2.3.4

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + 0)$

Bước 2.3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Bước 2.3.6

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $e^{x + y}$ và $e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.3

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.4.2

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Bước 4.1.3.6

Nhân $e^{x + y}$ với $1$ .

$f' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Bước 5.2

Đưa $e^{x + y}$ ra ngoài $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $e^{x + y}$ ra ngoài $x e^{x + y}$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} = 0$

Bước 5.2.2

Nhân với $1$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1 = 0$

Bước 5.2.3

Đưa $e^{x + y}$ ra ngoài $e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1$ .

$e^{x + y} (x + 1) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x + y} = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 5.4

Đặt $e^{x + y}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt $e^{x + y}$ bằng với $0$ .

$e^{x + y} = 0$

Bước 5.4.2

Giải $e^{x + y} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (0)$

Bước 5.4.2.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Khai triển $\ln (e^{x + y})$ bằng cách di chuyển $x + y$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x + y) \ln (e) = \ln (0)$

Bước 5.4.2.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (0)$

Bước 5.4.2.2.3

Nhân $x + y$ với $1$ .

$x + y = \ln (0)$

Bước 5.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Không thể giải phương trình vì nó không xác định.

$Không xác định$

Bước 5.4.2.4

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = Undefined - y$

Bước 5.5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{x + y} (x + 1) = 0$ đúng.

$x = - 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$(- 1) e^{(- 1) + y} + 2 e^{(- 1) + y}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- 1 e^{- 1 + y}$ ở dạng $- e^{- 1 + y}$ .

$- e^{- 1 + y} + 2 e^{- 1 + y}$

Bước 9.2

Cộng $- e^{- 1 + y}$ và $2 e^{- 1 + y}$ .

$e^{- 1 + y}$

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11