Giải tích Ví dụ

$y = \arcsin (e^{4 x - 1})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = e^{4 x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{4 x - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(e^{4 x - 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{(4 x - 1) \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{4 x \cdot 2 - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $e^{4 x - 1}$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.5

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + 0)$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \cdot 4$

Bước 4.7.2

Kết hợp $\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ và $4$ .

$\frac{e^{4 x - 1} \cdot 4}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$

Bước 4.7.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{4 e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$