Giải tích Ví dụ

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{3}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.4

Vì $3 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $6 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x y$ đối với $x$ là $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $6$ với $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $24 x - 6 x^{2}$ và $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.3.3

Nhân $24$ với $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $6 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6 y$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- 12 x + 24$ và $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $2$ với $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{3}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.4

Vì $3 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Bước 4.1.5

Tính $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Vì $6 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x y$ đối với $x$ là $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Bước 4.1.5.3

Nhân $6$ với $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Cộng $24 x - 6 x^{2}$ và $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Bước 4.1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Bước 5.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.3

Thay các giá trị $a = - 6$ , $b = 24$ , và $c = 6 y$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.2.2

Nhân $24$ với $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.3

Đưa $144$ ra ngoài $576 + 144 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.3.1

Đưa $144$ ra ngoài $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.3.2

Đưa $144$ ra ngoài $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.4

Viết lại $144 (4 + y)$ ở dạng $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.4.1

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.4.2

Nhân $2$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Bước 5.4.3

Rút gọn $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.2.2

Nhân $24$ với $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.3

Đưa $144$ ra ngoài $576 + 144 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.3.1

Đưa $144$ ra ngoài $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.3.2

Đưa $144$ ra ngoài $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.4

Viết lại $144 (4 + y)$ ở dạng $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.4.1

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.5.2

Nhân $2$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Bước 5.5.3

Rút gọn $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Bước 5.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Bước 5.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.2.2

Nhân $24$ với $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.3

Đưa $144$ ra ngoài $576 + 144 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.3.1

Đưa $144$ ra ngoài $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.3.2

Đưa $144$ ra ngoài $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.4

Viết lại $144 (4 + y)$ ở dạng $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.4.1

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Bước 5.6.2

Nhân $2$ với $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Bước 5.6.3

Rút gọn $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Bước 5.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Bước 5.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Bước 9.1.2

Nhân $- 12$ với $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $- 24$ và $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Bước 9.2.2

Trừ $12 \sqrt{4 + y}$ khỏi $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11