Giải tích Ví dụ

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.1.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.1.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ ở dạng ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.1.4.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.1.4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.3.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.3.5.2

Nhân $- 6$ với $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Bước 1.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.6.1

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Bước 1.5.6.2

Cộng $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ và $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Bước 1.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4.3

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4.4

Kết hợp $- 10$ và $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4.5

Nhân $- 10$ với $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.6.4.7

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Bước 1.6.4.8

Kết hợp $10$ và $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Bước 1.6.4.9

Nhân $10$ với $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Bước 1.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{20}{x^{3}}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.2.8

Nhân $- 3$ với $20$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 60$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ đối với $x$ là $- 60 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ ở dạng ${({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3}))$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Bước 2.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Bước 2.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))))$

Bước 2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))))$

Bước 2.3.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Bước 2.3.8

Nhân các số mũ trong ${({(x + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Bước 2.3.8.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Bước 2.3.9

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1))$

Bước 2.3.10

Nhân $3$ với $1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2}))$

Bước 2.3.11

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 6} {(x + 3)}^{2})$

Bước 2.3.12

Nhân ${(x + 3)}^{- 6}$ với ${(x + 3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.1

Di chuyển ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 ({(x + 3)}^{2} {(x + 3)}^{- 6}))$

Bước 2.3.12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{2 - 6})$

Bước 2.3.12.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 4})$

Bước 2.3.13

Nhân $- 3$ với $- 60$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Bước 2.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Kết hợp $- 60$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Bước 2.4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Bước 2.4.3.3

Kết hợp $180$ và $\frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + \frac{180}{{(x + 3)}^{4}}$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{180}{{(x + 3)}^{4}} - \frac{60}{x^{4}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 4.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.1.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.1.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.4.1

Viết lại $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ ở dạng ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.1.4.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.1.4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.3.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.3.5.2

Nhân $- 6$ với $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Bước 4.1.4

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.1.5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.1.5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.1.5.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4.1.5.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Bước 4.1.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.6.1

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Bước 4.1.5.6.2

Cộng $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ và $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Bước 4.1.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4.3

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4.4

Kết hợp $- 10$ và $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4.5

Nhân $- 10$ với $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 4.1.6.4.7

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Bước 4.1.6.4.8

Kết hợp $10$ và $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Bước 4.1.6.4.9

Nhân $10$ với $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Bước 4.1.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Bước 5.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx 6.78350009$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{20}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 6.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 6.3

Đặt mẫu số trong $\frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 3)}^{3} = 0$

Bước 6.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $x + 3$ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 6.4.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 6.5

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 3, x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 6.78350009$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 6.78350009$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{180}{{((6.78350009) + 3)}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Cộng $6.78350009$ và $3$ .

$\frac{180}{{9.78350009}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Bước 9.1.1.2

Nâng $9.78350009$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{180}{9161.72000483} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Bước 9.1.2

Chia $180$ cho $9161.72000483$ .

$0.01964696 - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Bước 9.1.3

Nâng $6.78350009$ lên lũy thừa $4$ .

$0.01964696 - \frac{60}{2117.46062276}$

Bước 9.1.4

Chia $60$ cho $2117.46062276$ .

$0.01964696 - 1 \cdot 0.02833582$

Bước 9.1.5

Nhân $- 1$ với $0.02833582$ .

$0.01964696 - 0.02833582$

Bước 9.2

Trừ $0.02833582$ khỏi $0.01964696$ .

$- 0.00868886$

Bước 10

$x = 6.78350009$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 6.78350009$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 6.78350009$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $6.78350009$ trong biểu thức.

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{((6.78350009) + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1.1

Cộng $6.78350009$ và $3$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{9.78350009}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Bước 11.2.1.1.2

Nâng $9.78350009$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{95.71687419} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Bước 11.2.1.2

Chia $3$ cho $95.71687419$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Bước 11.2.1.3

Nâng $6.78350009$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{46.01587359})$

Bước 11.2.1.4

Chia $1$ cho $46.01587359$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 1 \cdot 0.02173163)$

Bước 11.2.1.5

Nhân $- 1$ với $0.02173163$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 0.02173163)$

Bước 11.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Trừ $0.02173163$ khỏi $0.03134243$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot 0.0096108$

Bước 11.2.2.2

Nhân $10$ với $0.0096108$ .

$f (6.78350009) = 0.09610804$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.09610804$ .

$y = 0.09610804$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(6.78350009, 0.09610804)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13