Giải tích Ví dụ

$\frac{{(5 t - 2)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = {(5 t - 2)}^{2}$ và $g (t) = {(t^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{2}] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{({(t^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${({(t^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{2}] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{2}] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = 5 t - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 t - 2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [5 t - 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d t} [5 t - 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 t - 2$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{3} (2 (5 t - 2) \frac{d}{d t} [5 t - 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(t^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) \frac{d}{d t} [5 t - 2] - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 t - 2$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.3

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.5

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 + \frac{d}{d t} [- 2]) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.6

Vì $- 2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) (5 + 0) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Cộng $5$ và $0$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) \cdot 5 - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 4.7.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 1)}^{3}]}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = t^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $t^{2} + 1$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $t^{2} + 1$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - {(5 t - 2)}^{2} (3 {(t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1])}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [1]))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6.4

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (2 t + 0))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Cộng $2 t$ và $0$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} (2 t))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 3 {(5 t - 2)}^{2} (2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{2} t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 6.5.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ ra ngoài $10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2) - 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Đưa $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ ra ngoài $10 {(t^{2} + 1)}^{3} (5 t - 2)$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1)) - 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.1.2

Đưa $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ ra ngoài $- 6 {(5 t - 2)}^{2} ({(t^{2} + 1)}^{2} t)$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1)) + 2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.1.3

Đưa $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2)$ ra ngoài $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1)) + 2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 3 (5 t - 2) t)$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 (t^{2} + 1) - 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 \cdot 1 - 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.3

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 3 (5 t - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 + (- 3 (5 t) - 3 \cdot - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.5

Nhân $5$ với $- 3$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 + (- 15 t - 3 \cdot - 2) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.6

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 + (- 15 t + 6) t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 15 t \cdot t + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.8

Nhân $t$ với $t$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Di chuyển $t$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 15 (t \cdot t) + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.8.2

Nhân $t$ với $t$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (5 t^{2} + 5 - 15 t^{2} + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.9

Trừ $15 t^{2}$ khỏi $5 t^{2}$ .

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 5 + 6 t)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.1.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(t^{2} + 1)}^{2}$ và ${(t^{2} + 1)}^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa ${(t^{2} + 1)}^{2}$ ra ngoài $2 {(t^{2} + 1)}^{2} (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{2} ((2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5))}{{(t^{2} + 1)}^{6}}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa ${(t^{2} + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(t^{2} + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{2} ((2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5))}{{(t^{2} + 1)}^{2} {(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{2} ((2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5))}{{(t^{2} + 1)}^{2} {(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(2 (5 t - 2)) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

$\frac{2 (5 t - 2) (- 10 t^{2} + 6 t + 5)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 (- 10 t^{2} + 6 t + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 10 t^{2}$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2}) + 6 t + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $6 t$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2}) - (- 6 t) + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (10 t^{2}) - (- 6 t)$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2} - 6 t) + 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.7

Viết lại $5$ ở dạng $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2} - 6 t) - 1 (- 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (10 t^{2} - 6 t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.9

Viết lại $- (10 t^{2} - 6 t - 5)$ ở dạng $- 1 (10 t^{2} - 6 t - 5)$ .

$\frac{2 (- 1 (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(2 (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 7.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(2 (10 t^{2} - 6 t - 5)) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{2 (10 t^{2} - 6 t - 5) (5 t - 2)}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$