Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{7}{4}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $4$ khỏi $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.7

Kết hợp $\frac{7}{4}$ và $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $5$ và $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.2.9

Nhân $7$ với $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 70$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 70 x$ đối với $x$ là $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 70$ với $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $15$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ và $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{35}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.6.2

Trừ $4$ khỏi $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.8

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.9

Nhân $\frac{35}{4}$ với $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.10

Nhân $3$ với $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.11

Nhân $4$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.2.12

Di chuyển $x^{- \frac{1}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 70$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 70$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{7}{4}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.6.2

Trừ $4$ khỏi $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.7

Kết hợp $\frac{7}{4}$ và $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.8

Kết hợp $5$ và $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.2.9

Nhân $7$ với $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 70$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 70 x$ đối với $x$ là $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $- 70$ với $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $15$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Bước 5.2

Cộng $70$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Bước 5.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Kết hợp.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Bước 5.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Bước 5.4.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Bước 5.4.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Bước 5.4.1.1.5

Chia $x^{\frac{3}{4}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $35$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1.1

Đưa $35$ ra ngoài $70$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

Bước 5.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

Bước 5.4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

Bước 5.5

Lấy mũ lũy thừa $\frac{4}{3}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.1.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.1.1.2

Rút gọn.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Rút gọn $8^{\frac{4}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Bước 5.6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Bước 5.6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Bước 5.6.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2^{4}$

Bước 5.6.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$x = 16$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

Bước 6.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt[4]{x^{3}}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} < 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Bước 6.3.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < \sqrt[3]{0}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < 0$

Bước 6.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 16$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 16$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $16$ với ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $16$ với ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Bước 9.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

Bước 9.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

Bước 9.1.4

Cộng $4$ và $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Bước 9.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Bước 9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Bước 9.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{105}{2^{5}}$

Bước 9.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{105}{32}$

Bước 10

$x = 16$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 16$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $16$ trong biểu thức.

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2.1.5

Nhân $5$ với $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

Bước 11.2.1.6

Nhân $- 70$ với $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

Bước 11.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Trừ $1120$ khỏi $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

Bước 11.2.2.2

Cộng $- 480$ và $15$ .

$f (16) = - 465$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 465$ .

$y = - 465$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13