Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 1.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 1.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Bước 1.3.7

Nhân $2$ với $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 x + 16 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Bước 2.2.3

Nhân $16$ với $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.3.7

Nhân $- 2$ với $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Bước 4

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx - 0.51493326$

Bước 5

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 0.51493326$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Bước 6

Nhân $2$ với $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Bước 7

$x = - 0.51493326$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 0.51493326$ là cực tiểu địa phương

Bước 8

Tìm giá trị y khi $x = - 0.51493326$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.51493326$ trong biểu thức.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $- 0.51493326$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Bước 8.2.1.2

Nhân $8$ với $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Bước 8.2.1.3

Nhân $2$ với $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Bước 8.2.2

Cộng $2.12125013$ và $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Bước 9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 10