Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \cos^{4} (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3

Nhân $4$ với $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Bước 1.5

Nhân $- 1$ với $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos^{3} (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Bước 2.4

Nhân $\cos^{3} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\cos^{3} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Bước 2.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Bước 2.4.2

Cộng $3$ và $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Bước 2.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.7

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.8

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Bước 2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Bước 2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Bước 2.13.2

Nhân $- 3$ với $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Bước 2.13.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Bước 5

Đặt $\cos^{3} (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cos^{3} (x)$ bằng với $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\cos^{3} (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Bước 5.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 5.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\cos (x) = 0$

Bước 5.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 5.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 5.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 5.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.2.7

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 6

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 6.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.3

Nhân $96$ với $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.6

Nhân $0$ với $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Bước 9.1.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Bước 9.1.9

Nhân $- 32$ với $0$ .

$0 + 0$

Bước 9.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Tính $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Bước 10.2.2.2

Nâng $- 0.41614683$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Bước 10.2.2.3

Nhân $- 32$ với $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Bước 10.2.2.4

Tính $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Bước 10.2.2.5

Nhân $2.30616178$ với $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Bước 10.2.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(0, \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Tính $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Bước 10.3.2.2

Nâng $0.5403023$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Bước 10.3.2.3

Nhân $- 32$ với $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Bước 10.3.2.4

Tính $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Bước 10.3.2.5

Nhân $- 5.04731536$ với $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Bước 10.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Bước 10.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(\frac{π}{2}, π)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Bước 10.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Tính $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Bước 10.4.2.2

Nâng $- 0.41614683$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Bước 10.4.2.3

Nhân $- 32$ với $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Bước 10.4.2.4

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Bước 10.4.2.5

Nhân $2.30616178$ với $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Bước 10.4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $2.09698697$ .

$2.09698697$

Bước 10.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(π, \frac{3 π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Bước 10.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Tính $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Bước 10.5.2.2

Nâng $- 0.65364362$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Bước 10.5.2.3

Nhân $- 32$ với $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Bước 10.5.2.4

Tính $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Bước 10.5.2.5

Nhân $8.93661523$ với $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Bước 10.5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Bước 10.6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $7$ , từ khoảng $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Bước 10.6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.2.1

Tính $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Bước 10.6.2.2

Nâng $0.75390225$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Bước 10.6.2.3

Nhân $- 32$ với $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Bước 10.6.2.4

Tính $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Bước 10.6.2.5

Nhân $- 13.71182002$ với $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Bước 10.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Bước 10.7

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 10.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = \frac{π}{2}$ , nên $x = \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương.

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 10.9

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = π$ , nên $x = π$ là một cực đại địa phương.

$x = π$ là cực đại địa phương

Bước 10.10

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = \frac{3 π}{2}$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 10.11

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = π$ là cực đại địa phương

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = π$ là cực đại địa phương

Bước 11