Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \ln (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 17$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 17 \arctan (x)$ đối với $x$ là $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3.3

Kết hợp $- 17$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Để viết $\frac{4}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Bước 1.4.1.2

Để viết $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 1.4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $x (1 + x^{2})$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.3.1

Nhân $\frac{4}{x}$ với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 1.4.1.3.2

Nhân $\frac{17}{1 + x^{2}}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Bước 1.4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Bước 1.4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ và $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.2

Vì $- 17$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 17 x$ đối với $x$ là $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.4

Nhân $- 17$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 (1 + x^{2})$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.2.10

Nhân $2$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.10

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $1 + x^{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.10.2

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.1.1

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.1.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.1.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.2

Khai triển $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.3.1

Di chuyển $- 17$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.3.3.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.4

Di chuyển $- 17$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.6

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.3.6.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.6.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.3.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.3.6.3

Cộng $1$ và $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.4.1

Nhân $- 17$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.4.2

Nhân $- (4 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.4.2.1

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.4.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.4.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.5

Khai triển $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.6.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.6.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.6.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.3

Nhân $17$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.4

Nhân $17$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.5

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.6

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.8

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1.6.8.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.8.3

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.9

Nhân $- 4$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.6.10

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.1.7

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.2.1

Cộng $- 17 x$ và $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.2.2

Cộng $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.3

Trừ $16 x^{2}$ khỏi $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.4

Cộng $- 17 x^{3}$ và $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.5.5

Trừ $12 x^{4}$ khỏi $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $34 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.6.7

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $17 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.12

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.14

Viết lại $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ ở dạng $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \ln (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 4.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 17$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 17 \arctan (x)$ đối với $x$ là $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 4.1.3.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 4.1.3.3

Kết hợp $- 17$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Bước 4.1.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.1

Để viết $\frac{4}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Bước 4.1.4.1.2

Để viết $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 4.1.4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $x (1 + x^{2})$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1.3.1

Nhân $\frac{4}{x}$ với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 4.1.4.1.3.2

Nhân $\frac{17}{1 + x^{2}}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Bước 4.1.4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Bước 4.1.4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Bước 4.1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Bước 5.3.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Bước 5.3.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Bước 5.3.2.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ và có tổng là $b = - 17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $- 17$ ra ngoài $- 17 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại $- 17$ ở dạng $- 1$ cộng $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Bước 5.3.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Bước 5.3.2.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Bước 5.3.2.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Bước 5.3.2.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Bước 5.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 5.3.4

Đặt $4 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đặt $4 x - 1$ bằng với $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Bước 5.3.4.2

Giải $4 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 1$

Bước 5.3.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 5.3.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 5.3.4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Bước 5.3.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 5.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Bước 6.2.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.3

Đặt $1 + x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Đặt $1 + x^{2}$ bằng với $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Bước 6.2.3.2

Giải $1 + x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 1$

Bước 6.2.3.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 6.2.3.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 6.2.3.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 6.2.3.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 6.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (1 + x^{2}) = 0$ đúng.

$x = 0, i, - i$

Bước 6.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{1}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $256$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.7

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.8

Kết hợp $- 17$ và $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.12

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.13

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.13.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.14

Để viết $- \frac{17}{64}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.15

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $128$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.15.1

Nhân $\frac{17}{64}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.15.2

Nhân $64$ với $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.17.1

Nhân $- 17$ với $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.17.2

Trừ $34$ khỏi $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.18

Để viết $\frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.19

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $128$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.19.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.19.2

Nhân $4$ với $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.21

Cộng $- 33$ và $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.22

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.23

Kết hợp $2$ và $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.25.1

Nhân $2$ với $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.1.25.2

Cộng $- 1$ và $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Bước 9.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Bước 9.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Bước 9.2.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Bước 9.2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Bước 9.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Bước 9.2.7

Cộng $16$ và $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Bước 9.2.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{17}{16}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Bước 9.2.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Bước 9.2.10

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Bước 9.2.11

Nâng $17$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Bước 9.2.12

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Bước 9.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Bước 9.3.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $2$ với $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Bước 9.3.3.2

Nhân $16$ với $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Bước 9.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $510$ và $128$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $510$ .

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Bước 9.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $128$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Bước 9.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Bước 9.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Bước 9.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung $17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $17$ ra ngoài $255$ .

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Bước 9.5.2

Đưa $17$ ra ngoài $289$ .

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Bước 9.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Bước 9.5.4

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Bước 9.6

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Đưa $64$ ra ngoài $4096$ .

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Bước 9.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Bước 9.6.3

Viết lại biểu thức.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Bước 9.7

Kết hợp $15$ và $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Bước 9.8

Nhân $15$ với $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Bước 10

$x = \frac{1}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{1}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Rút gọn $4 \ln (\frac{1}{4})$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Bước 11.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Bước 11.2.1.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Bước 11.2.1.5

Tính $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Bước 11.2.1.6

Nhân $- 17$ với $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Bước 11.2.2

Trừ $4.16463727$ khỏi $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 4$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $4$ với ${(4)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nhân $4$ với ${(4)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Bước 13.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Bước 13.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Bước 13.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.2

Nhân $2$ với $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.4

Nhân $- 17$ với $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.6

Trừ $1088$ khỏi $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.7

Cộng $- 576$ và $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.2.8

Cộng $- 512$ và $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Bước 13.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Bước 13.3.2

Cộng $1$ và $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Bước 13.3.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Bước 13.3.4

Nâng $17$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Bước 13.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nhân $2$ với $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Bước 13.4.2

Nhân $16$ với $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Bước 13.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1020$ và $4624$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Đưa $68$ ra ngoài $- 1020$ .

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Bước 13.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.2.1

Đưa $68$ ra ngoài $4624$ .

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Bước 13.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Bước 13.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{- 15}{68}$

Bước 13.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{15}{68}$

Bước 13.5

Nhân $- - \frac{15}{68}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Bước 13.5.2

Nhân $\frac{15}{68}$ với $1$ .

$\frac{15}{68}$

Bước 14

$x = 4$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 4$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Rút gọn $4 \ln (4)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Bước 15.2.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Bước 15.2.1.3

Tính $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Bước 15.2.1.4

Nhân $- 17$ với $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Bước 15.2.2

Trừ $22.53890028$ khỏi $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Bước 15.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ là một cực đại địa phuơng

$(4, - 16.99372283)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 17