Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \cos (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 1.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Bước 2.4.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Bước 4

Đưa $4 \sin (x)$ ra ngoài $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $4 \sin (x)$ ra ngoài $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Bước 4.2

Đưa $4 \sin (x)$ ra ngoài $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 4.3

Đưa $4 \sin (x)$ ra ngoài $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 6

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 6.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 7

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $\cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = 1$

Bước 7.2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7.2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 7.2.5

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 7.2.6

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, π, 2 π$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Bước 10.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Bước 10.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Bước 10.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Bước 10.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Bước 10.1.6

Nhân $- 4$ với $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Bước 10.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Bước 10.1.8

Nhân $- 4$ với $1$ .

$4 + 0 - 4$

Bước 10.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $4$ và $0$ .

$4 - 4$

Bước 10.2.2

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$0$

Bước 11

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Bước 11.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Bước 11.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.1

Tính $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Bước 11.2.2.1.2

Nhân $4$ với $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Bước 11.2.2.1.3

Tính $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Bước 11.2.2.1.4

Nhân $- 1.66458734$ với $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Bước 11.2.2.1.5

Tính $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Bước 11.2.2.1.6

Nhân $- 4$ với $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Bước 11.2.2.2

Cộng $1.51360499$ và $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Bước 11.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $5.15079469$ .

$5.15079469$

Bước 11.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, π)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Bước 11.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1.1

Tính $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Bước 11.3.2.1.2

Nhân $4$ với $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Bước 11.3.2.1.3

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Bước 11.3.2.1.4

Nhân $- 1.66458734$ với $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Bước 11.3.2.1.5

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Bước 11.3.2.1.6

Nhân $- 4$ với $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Bước 11.3.2.2

Trừ $3.6371897$ khỏi $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Bước 11.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Bước 11.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $5$ , từ khoảng $(π, 2 π)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Bước 11.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.2.1.1

Tính $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Bước 11.4.2.1.2

Nhân $4$ với $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Bước 11.4.2.1.3

Tính $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Bước 11.4.2.1.4

Nhân $1.13464874$ với $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Bước 11.4.2.1.5

Tính $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Bước 11.4.2.1.6

Nhân $- 4$ với $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Bước 11.4.2.2

Cộng $- 1.08804222$ và $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Bước 11.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2.74765487$ .

$2.74765487$

Bước 11.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $9$ , từ khoảng $(2 π, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $9$ trong biểu thức.

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Bước 11.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.1.1

Tính $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Bước 11.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Bước 11.5.2.1.3

Tính $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Bước 11.5.2.1.4

Nhân $- 3.64452104$ với $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Bước 11.5.2.1.5

Tính $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Bước 11.5.2.1.6

Nhân $- 4$ với $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Bước 11.5.2.2

Trừ $1.64847394$ khỏi $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Bước 11.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Bước 11.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 11.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = π$ , nên $x = π$ là một cực tiểu địa phương.

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 11.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 2 π$ , nên $x = 2 π$ là một cực đại địa phương.

$x = 2 π$ là cực đại địa phương

Bước 11.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = π$ là cực tiểu địa phương

$x = 2 π$ là cực đại địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = π$ là cực tiểu địa phương

$x = 2 π$ là cực đại địa phương

Bước 12