Giải tích Ví dụ

$f (x) = 48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $48 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.9

Kết hợp $48$ và $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.10

Nhân $2$ với $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.12

Đưa $3$ ra ngoài $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 18 x$ đối với $x$ là $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.2.3

Nhân $- 18$ với $1$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.3.5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.3.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Bước 2.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 2.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 2.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Bước 2.3.9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Bước 2.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Bước 2.3.11

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.3.12

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.3.13

Nhân $x^{- \frac{2}{3}}$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.3.13.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Bước 2.3.13.3

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Bước 2.3.13.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Bước 2.3.14

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Bước 2.3.15

Nhân $- 1$ với $32$ .

$f'' (x) = - 18 - 32 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.3.16

Kết hợp $- 32$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{- 32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.3.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 18 - \frac{32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $48 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.8

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.9

Kết hợp $48$ và $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.10

Nhân $2$ với $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.12

Đưa $3$ ra ngoài $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.2.13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{2}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Bước 4.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 5.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Bước 5.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3

Nhân mỗi số hạng trong $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ với $x^{\frac{1}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.1.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + 1} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.1.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 18 x^{\frac{1 + 3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.1.5

Cộng $1$ và $3$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0$

Bước 5.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Trừ $32$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} = - 32$

Bước 5.4.2

Lấy mũ lũy thừa $\frac{3}{4}$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Rút gọn ${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 18 x^{\frac{4}{3}}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{1} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.3

Rút gọn.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.3.1.4

Sắp xếp lại các thừa số trong ${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x$ .

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.4.2

Chia mỗi số hạng trong $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ cho ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ cho ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Bước 5.4.4.4

Chia mỗi số hạng trong $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ cho ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ cho ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.4.4.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}, - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5.5

Loại bỏ đáp án không làm cho $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Bước 6.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 6.2

Đặt mẫu số trong $\frac{32}{\sqrt[3]{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{3}$

Bước 6.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{4}}$

Bước 9.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0}$

Bước 9.3.2

Nhân $3$ với $0$ .

$- 18 - \frac{32}{0}$

Bước 9.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- 18 - \frac{32}{0}$

Bước 9.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - 18 \cdot - 2 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nhân $- 18$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = - 18 \cdot 2 + \frac{32}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Nhân $- 18$ với $2$ .

$f' (2) = - 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.3.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.4

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 11