Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{7} - 6 x^{\frac{3}{2}} - x^{- 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{7} - 6 x^{\frac{3}{2}} - x^{- 4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{7}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{7}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$4 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.2.3

Nhân $7$ với $4$ .

$28 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$28 x^{6} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$28 x^{6} - 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.8

Kết hợp $- 6$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$28 x^{6} + \frac{- 6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.9

Nhân $3$ với $- 6$ .

$28 x^{6} + \frac{- 18 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.10

Đưa $2$ ra ngoài $- 18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.11.3

Viết lại biểu thức.

$28 x^{6} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.3.11.4

Chia $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} - (- 4 x^{- 5})$

Bước 1.4.3

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- 5}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 1.5.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{5}}$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [28 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (28 x^{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [28 x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $28$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $28 x^{6}$ đối với $x$ là $28 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 28 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$f'' (x) = 28 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.2.3

Nhân $6$ với $28$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{x^{5}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.8

Nhân $- 5$ với $4$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.4.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.4.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.4.9

Kết hợp $- 9$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.4.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.4.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 \frac{1}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Kết hợp $- 20$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + \frac{- 20}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 168 x^{5} - \frac{20}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6