Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.7.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.9

Kết hợp $4$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.10

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.11

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.12.4

Chia $6 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $6 x^{\frac{1}{2}}$ và $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 2.9

Kết hợp $6$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.11

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.12.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.7.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.8

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.9

Kết hợp $4$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.10

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.11

Đưa $2$ ra ngoài $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.2.12.4

Chia $6 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Bước 4.1.3.2

Cộng $6 x^{\frac{1}{2}}$ và $0$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ cho $6$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Bước 5.2.2.2

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia $0$ cho $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 5.3

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 5.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 5.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{2}$

Bước 5.4.1.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$6 \sqrt{x^{1}}$

Bước 6.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$6 \sqrt{x}$

Bước 6.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x < 0$

Bước 6.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 9.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{0^{1}}$

Bước 9.3

Tính số mũ.

$\frac{3}{0}$

Bước 9.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11