Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4.1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4.1 \sin (x)$ đối với $x$ là $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1.6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 1.6 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4.1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4.1 \cos (x)$ đối với $x$ là $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $1.6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $1.6 \sin (x)$ đối với $x$ là $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2

Chia $4.1$ cho $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6

Tách các phân số.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 8

Chia $1.6$ cho $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 9

Tách các phân số.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 10

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 11

Chia $0$ cho $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 12

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Bước 13

Trừ $4.1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Bước 14

Chia mỗi số hạng trong $1.6 \tan (x) = - 4.1$ cho $1.6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia mỗi số hạng trong $1.6 \tan (x) = - 4.1$ cho $1.6$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Bước 14.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1.6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Bước 14.2.1.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Bước 14.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chia $- 4.1$ cho $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Bước 15

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Bước 16

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Bước 17

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Bước 18

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Cộng $2 π$ vào $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 18.2

Góc tìm được $1.94286408$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = 1.94286408$

Bước 19

Đáp án của phương trình $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Bước 20

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1.19872856$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Nhân $- 4.1$ với $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Bước 21.1.2

Nhân $1.6$ với $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Bước 21.2

Cộng $3.81946823$ và $0.58166797$ .

$4.40113621$

Bước 22

$x = - 1.19872856$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 1.19872856$ là cực tiểu địa phương

Bước 23

Tìm giá trị y khi $x = - 1.19872856$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.19872856$ trong biểu thức.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Bước 23.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.1

Nhân $4.1$ với $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Bước 23.2.1.2

Nhân $- 1.6$ với $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Bước 23.2.2

Trừ $0.58166797$ khỏi $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Bước 23.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Bước 24

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1.94286408$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Bước 25

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1.1

Nhân $- 4.1$ với $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Bước 25.1.2

Nhân $1.6$ với $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Bước 25.2

Trừ $0.58166797$ khỏi $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Bước 26

$x = 1.94286408$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1.94286408$ là cực đại địa phương

Bước 27

Tìm giá trị y khi $x = 1.94286408$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.94286408$ trong biểu thức.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Bước 27.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.2.1.1

Nhân $4.1$ với $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Bước 27.2.1.2

Nhân $- 1.6$ với $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Bước 27.2.2

Cộng $3.81946823$ và $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Bước 27.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Bước 28

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ là một cực tiểu địa phương

$(1.94286408, 4.40113621)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 29