Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{3} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Bước 1.3.5

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Bước 1.4.2

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Bước 1.4.2.2

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Bước 1.4.2.3

Đưa $3 \sin (x)$ ra ngoài $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại $\cos^{2} (x)$ và $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Bước 1.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Bước 1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Bước 1.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Bước 1.4.7

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Bước 1.4.8

Áp dụng đẳng thức pytago.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Bước 1.4.9

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.9.1

Di chuyển $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Bước 1.4.9.2

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.9.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Bước 1.4.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Bước 1.4.9.3

Cộng $2$ và $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Bước 1.4.10

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 \sin^{3} (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Bước 2.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Bước 4.2.1.2

Chia $\sin^{3} (x)$ cho $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $0$ cho $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Bước 5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Bước 6

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\sin (x) = 0$

Bước 7

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 9

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 10

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 11

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Bước 13.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Bước 13.3

Nhân $- 9$ với $0$ .

$0 \cos (0)$

Bước 13.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 \cdot 1$

Bước 13.5

Nhân $0$ với $1$ .

$0$

Bước 14

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Bước 14.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 3 \sin^{3} (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Bước 14.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Tính $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Bước 14.2.2.2

Nâng $- 0.90929742$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Bước 14.2.2.3

Nhân $- 3$ với $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Bước 14.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2.25548083$ .

$2.25548083$

Bước 14.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, π)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 3 \sin^{3} (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Bước 14.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Bước 14.3.2.2

Nâng $0.90929742$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Bước 14.3.2.3

Nhân $- 3$ với $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Bước 14.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Bước 14.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(π, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 3 \sin^{3} (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Bước 14.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Tính $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Bước 14.4.2.2

Nâng $- 0.27941549$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Bước 14.4.2.3

Nhân $- 3$ với $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Bước 14.4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.06544443$ .

$0.06544443$

Bước 14.5

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 14.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = π$ , nên $x = π$ là một cực tiểu địa phương.

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 14.7

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = π$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 15