Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.7

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.9

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.2.11.4

Chia $5 x^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.2.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Bước 2.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Bước 2.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.3.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 2.3.8

Kết hợp $5$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 2.3.9

Nhân $3$ với $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{5}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.7

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.9

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.2.11.4

Chia $5 x^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Bước 4.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Bước 5.2

Đưa $- x$ ra ngoài $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $- x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Bước 5.2.2

Đưa $- x$ ra ngoài $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Bước 5.2.3

Đưa $- x$ ra ngoài $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 5.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5.5

Đặt $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ bằng với $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Bước 5.5.2

Giải $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Bước 5.5.2.2

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1.1

Rút gọn ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3.1.1.2

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3.1.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3.1.1.4

Rút gọn.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Bước 5.5.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$25 x = 4$

Bước 5.5.2.4

Chia mỗi số hạng trong $25 x = 4$ cho $25$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $25 x = 4$ cho $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Bước 5.5.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Bước 5.5.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Bước 6.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{3}}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} < 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Bước 6.3.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < \sqrt[3]{0}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x < 0$

Bước 6.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 9.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Bước 9.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Bước 9.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Bước 9.1.1.4

Tính số mũ.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Bước 9.1.2

Nhân $15$ với $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Bước 9.1.3

Chia $0$ cho $2$ .

$- 2 + 0$

Bước 9.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$- 2$

Bước 10

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Bước 11.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Bước 11.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Bước 11.2.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Bước 11.2.1.5

Nhân $2$ với $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Bước 11.2.1.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Bước 11.2.1.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 11.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{4}{25}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.2.4

Tính số mũ.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Bước 13.1.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Bước 13.1.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Bước 13.1.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Bước 13.1.1.3.4

Tính số mũ.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Bước 13.1.2

Kết hợp $15$ và $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Bước 13.1.3

Nhân $15$ với $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Bước 13.1.4

Chia $30$ cho $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Bước 13.1.5

Chia $6$ cho $2$ .

$- 2 + 3$

Bước 13.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$1$

Bước 14

$x = \frac{4}{25}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{4}{25}$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = \frac{4}{25}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{4}{25}$ trong biểu thức.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.3.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.4

Nhân $2 (\frac{32}{3125})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.4.2

Nhân $2$ với $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Bước 15.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Bước 15.2.1.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Bước 15.2.1.7

Nâng $25$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Bước 15.2.2

Để viết $- \frac{16}{625}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 15.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $3125$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1

Nhân $\frac{16}{625}$ với $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Bước 15.2.3.2

Nhân $625$ với $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Bước 15.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Bước 15.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.1

Nhân $- 16$ với $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Bước 15.2.5.2

Trừ $80$ khỏi $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Bước 15.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Bước 15.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 17