Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2.5

Vì $6 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3} y$ đối với $x$ là $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.2.7

Nhân $3$ với $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.3

Vì $4 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 1.5

Vì $10 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10 y$ đối với $x$ là $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Cộng $18 y x^{2}$ và $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Bước 1.6.1.2

Cộng $18 y x^{2} - 2$ và $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$18 x^{2} y - 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $18 x^{2} y - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $18 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x^{2} y$ đối với $x$ là $18 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 y \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 y (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $18$ .

$f'' (x) = 36 y x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Bước 2.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 36 y x + 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $36 y x$ và $0$ .

$f'' (x) = 36 y x$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $36 y x$ .

$f'' (x) = 36 x y$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2.5

Vì $6 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3} y$ đối với $x$ là $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.2.7

Nhân $3$ với $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.3

Vì $4 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Bước 4.1.5

Vì $10 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10 y$ đối với $x$ là $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1.1

Cộng $18 y x^{2}$ và $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Bước 4.1.6.1.2

Cộng $18 y x^{2} - 2$ và $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Bước 4.1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 18 x^{2} y - 2$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $18 x^{2} y - 2$ .

$18 x^{2} y - 2$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $18 x^{2} y - 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Bước 5.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$18 x^{2} y = 2$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $18 x^{2} y = 2$ cho $18 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $18 x^{2} y = 2$ cho $18 y$ .

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{18 y}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{18 y}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18 y$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{2 (9 y)}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 (9 y)}$

Bước 5.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = \frac{1}{9 y}$

Bước 5.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$

Bước 5.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại $\frac{1}{9 y}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{9 y}}$

Bước 5.5.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}}$

Bước 5.5.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}}$

Bước 5.5.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{y}}$

Bước 5.5.3

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{y}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Bước 5.5.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$

Bước 5.5.5

Nhân $\frac{1}{\sqrt{y}}$ với $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Bước 5.5.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{y}}$ với $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Bước 5.5.6.2

Nâng $\sqrt{y}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Bước 5.5.6.3

Nâng $\sqrt{y}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Bước 5.5.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Bước 5.5.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Bước 5.5.6.6

Viết lại ${\sqrt{y}}^{2}$ ở dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.5.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.5.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Bước 5.5.6.6.5

Rút gọn.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Bước 5.5.7

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Bước 5.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Bước 5.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Bước 5.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$36 (\frac{\sqrt{y}}{3 y}) y$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Bước 9.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 y$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 (y)} y$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 12 \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Bước 9.1.4

Viết lại biểu thức.

$12 \frac{\sqrt{y}}{y} y$

Bước 9.2

Kết hợp $12$ và $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Bước 9.3.2

Viết lại biểu thức.

$12 \sqrt{y}$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $18 x^{2} y - 2$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = 18 {(0)}^{2} y - 2$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = 18 \cdot (0 y) - 2$

Bước 10.2.2.1.2

Nhân $18$ với $0$ .

$f' (0) = 0 y - 2$

Bước 10.2.2.1.3

Nhân $0$ với $y$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Bước 10.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 2$

Bước 10.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 10.3

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 11