Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Bước 1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Bước 1.4.2.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Bước 1.4.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 5

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 5.2

Đưa $2 \sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 7

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 7.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 7.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 7.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 8

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $\cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Bước 8.2

Giải $\cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = 1$

Bước 8.2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 8.2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 8.2.5

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 8.2.6

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, π, 2 π$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Bước 11.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Bước 11.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Bước 11.1.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 - 2$

Bước 11.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$0$

Bước 12

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Bước 12.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Bước 12.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Bước 12.2.2.1.2

Tính $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Bước 12.2.2.1.3

Tính $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Bước 12.2.2.1.4

Nhân $- 2$ với $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Bước 12.2.2.2

Cộng $0.75680249$ và $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Bước 12.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2.57539734$ .

$2.57539734$

Bước 12.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, π)$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Bước 12.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Bước 12.3.2.1.2

Tính $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Bước 12.3.2.1.3

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Bước 12.3.2.1.4

Nhân $- 2$ với $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Bước 12.3.2.2

Trừ $1.81859485$ khỏi $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Bước 12.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Bước 12.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $5$ , từ khoảng $(π, 2 π)$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Bước 12.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1.1

Nhân $2$ với $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Bước 12.4.2.1.2

Tính $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Bước 12.4.2.1.3

Tính $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Bước 12.4.2.1.4

Nhân $- 2$ với $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Bước 12.4.2.2

Cộng $- 0.54402111$ và $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Bước 12.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.37382743$ .

$1.37382743$

Bước 12.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $9$ , từ khoảng $(2 π, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $9$ trong biểu thức.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Bước 12.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1.1

Nhân $2$ với $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Bước 12.5.2.1.2

Tính $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Bước 12.5.2.1.3

Tính $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Bước 12.5.2.1.4

Nhân $- 2$ với $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Bước 12.5.2.2

Trừ $0.82423697$ khỏi $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Bước 12.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Bước 12.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 12.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = π$ , nên $x = π$ là một cực tiểu địa phương.

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 12.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 2 π$ , nên $x = 2 π$ là một cực đại địa phương.

$x = 2 π$ là cực đại địa phương

Bước 12.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = π$ là cực tiểu địa phương

$x = 2 π$ là cực đại địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = π$ là cực tiểu địa phương

$x = 2 π$ là cực đại địa phương

Bước 13