Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $5$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $5$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $5$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

Bước 6.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (15)$ là $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Chia $15$ thành hai góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

Bước 6.1.2.2

Tách dấu âm.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

Bước 6.1.2.3

Áp dụng công thức hiệu của góc.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Bước 6.1.2.4

Giá trị chính xác của $\sin (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Bước 6.1.2.5

Giá trị chính xác của $\cos (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Bước 6.1.2.6

Giá trị chính xác của $\cos (45)$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

Bước 6.1.2.7

Giá trị chính xác của $\sin (30)$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Bước 6.1.2.8

Rút gọn $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.8.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.8.1.1.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Bước 6.1.2.8.1.1.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Bước 6.1.2.8.1.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Bước 6.1.2.8.1.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Bước 6.1.2.8.1.2

Nhân $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.8.1.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

Bước 6.1.2.8.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

Bước 6.1.2.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

Bước 6.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

Bước 6.3.2

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

Bước 6.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

Bước 6.4.2

Nhân $2$ với $20$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Dạng thập phân:

$0.02588190 \dots$