Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 x + 2}{6 x - 9}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 2}{6 x - 9}}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Bước 3.1.2

Chia $3$ cho $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 9}{x}}}$

Bước 3.2.1.2

Chia $6$ cho $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{6 + \frac{- 9}{x}}}$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{6 - \frac{9}{x}}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Bước 3.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{9}{x}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x}}}$

Bước 5.3

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 2 \cdot 0}{6 - 9 \cdot 0}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\sqrt{\frac{3 + 0}{6 - 9 \cdot 0}}$

Bước 7.2

Cộng $3$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6 - 9 \cdot 0}}$

Bước 7.3

Nhân $- 9$ với $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6 + 0}}$

Bước 7.4

Cộng $6$ và $0$ .

$\sqrt{\frac{3}{6}}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{6}}$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Bước 7.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Bước 7.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 7.6

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.7

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 7.8

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.9

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.9.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 7.9.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 7.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 7.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 7.9.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.9.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.9.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.9.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.9.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.9.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 7.9.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.70710678 \dots$