Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{3}{5 x \csc (3 x)}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{3}{5}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{x \csc (3 x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \csc (3 x)}$

Bước 3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x \csc (3 x)}$

Bước 4

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (3 x)$

Bước 5

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \csc (3 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & x \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.33838633 \\ - 0.01 & 0.33338333 \\ - 0.001 & 0.33333383 \end{array}$

Bước 6

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.333$ . Cho nên, giới hạn của $x \csc (3 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.333$ .

$0.333$

Bước 7

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (3 x)$

Bước 8

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \csc (3 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & x \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.33838633 \\ 0.01 & 0.33338333 \\ 0.001 & 0.33333383 \end{array}$

Bước 9

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.333$ . Cho nên, giới hạn của $x \csc (3 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.333$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{0.333}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $1$ cho $0.333$ .

$\frac{3}{5} \cdot 3.\overline{003}$

Bước 10.2

Nhân $\frac{3}{5} \cdot 3.\overline{003}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $\frac{3}{5}$ và $3.\overline{003}$ .

$\frac{3 \cdot 3.\overline{003}}{5}$

Bước 10.2.2

Nhân $3$ với $3.\overline{003}$ .

$\frac{9.\overline{009}}{5}$

Bước 10.3

Chia $9.\overline{009}$ cho $5$ .

$1.\overline{801}$